Bonus - Partageons les tores

Ces animations viennent compléter l’article « Partageons les tores », publié dans la rubrique « Formes mathématiques » du n° 396 de la revue Découverte (janvier-février 2015, p. 46-51).

Sections horizontales

Cette animation montre les différentes sections d’un tore par un plan horizontal qui se déplace vers le bas perpendiculairement à l’axe du tore. Seule la partie du tore située sous le plan est représentée.

Le plan commence par « effleurer » le tore selon un cercle, sans vraiment le couper. Puis, en descendant, il le coupe selon deux cercles concentriques, qui s’éloignent l’un de l’autre avant de se rapprocher pour n’en former finalement plus qu’un seul, identique au premier obtenu.

Sections verticales

Cette animation montre les différentes sections d’un tore par un plan vertical qui se rapproche de nous tout en restant parallèle à l’axe du tore. Seule la partie du tore située derrière le plan est représentée.

D’abord,  le plan ne touche le tore qu’en un seul point. Puis, en se rapprochant de nous, il coupe le tore selon des courbes en forme d’ovales, qui s’agrandissent avant de se « creuser » en haut et en bas, jusqu’à se couper en deux pour donner deux ovales disjoints. Lorsque le plan passe par l’axe du tore, ces ovales deviennent deux cercles identiques. En s’éloignant de cet axe, et en se rapprochant encore de nous, le scénario s’inverse : les sections obtenues évoluent des deux cercles au point unique, en passant par deux ovales pour aboutir à un seul.

De horizontal à vertical

Cette animation montre les différentes sections d’un tore par un plan qui passe de la position horizontale à la position verticale en tournant autour d’un axe perpendiculaire à celui du tore. Seule la partie du tore située derrière le plan est représentée.

D’abord,  la section correspond à deux cercles concentriques, puis à deux ovales dont l’un est à l’intérieur de l’autre et qui se rapprochent de plus en plus. À tel point qu’ils vont se rejoindre pour  former à nouveau deux cercles (dits de Villarceau), lorsque le plan de coupe est tangent au tore. Mais à peine formés, ces cercles se séparent pour donner deux courbes identiques qui se déforment pour finir par redonner deux cercles, différents des précédents.