Les Étincelles du Palais de la découverte
La médiation scientifique
Découvrez le futur Palais
Par quel nombre faut-il compléter la suite "logique" : 1, 2, 4, ... ?
Par 7 ? Bravo ! On obtient alors 1, 2, 4, 7, soit le début de la suite du nombre maximum de régions du plan découpées par des droites.
Par 8 ? C'est possible aussi...
On obtiendrait 1, 2, 4, 8, où chaque nombre est obtenu en multipliant le précédent par 2.
Par quel nombre faut-il compléter la suite "logique" 1, 2, 4, 8, ... ?
Par 14 ? On obtient 1, 2, 4, 8, 14, le début de la suite du nombre maximum de régions du plan découpées par des cercles.
Par 16 ? C'est possible aussi. On obtiendrait 1, 2, 4, 8, 16 où, de nouveau, chaque nombre est obtenu en multipliant le précédent par 2.
Par quel nombre faut-il compléter la suite "logique" 1, 2, 4, 8, 16, ... ?
Par 31 ? Bravo ! On obtient 1, 2, 4, 8, 16, 31 qui nous donne le nombre maximum de régions du disque découpées par des cordes (segments joignant deux à deux des points du cercle).
Par 32 ? Cela marche aussi !
On obtiendrait 1, 2, 4, 8, 16, 32, où chaque nombre est obtenu en multipliant le précédent par 2.
Et si on veut tester vos capacités intellectuelles en vous demandant le nombre qui vient après 1, 2, 3, 4, ne répondez pas 10 sous prétexte que 1 + 2 + 3 + 4 = 10, faites comme tout le monde, dites que c'est 5 ... mais méfiez-vous des généralisations hâtives !
Moralité : en mathématiques, tant que la règle n'a pas été donnée... vous pouvez choisir la règle. Et vous pouvez compléter les suites qu'on vous propose par ... ce que vous voulez. Mais celui qui vous teste ne le sait peut-être pas, hélas.
Savez-vous planter les choux à la mode de chez nous ? Il faut les disposer de façon telle qu'un bricou qui en mangerait deux pourra toujours en manger un troisième aligné avec les deux premiers. Et peu importe lesquels il choisit en premier !
Sous forme plus géométrique, c'est un problème dû à J. J. Sylvester (Londres 1814 - Oxford 1897) : on cherche un ensemble de points tel que pour chaque choix de deux d'entre eux, il en existe au moins un troisième qui soit aligné avec ces deux-là.
On peut choisir des points sur une droite. Trop facile, mais ça marche. Désormais on refuse le cas d'ensembles de points tous alignés.
Il existe des solutions coûteuses : prenez comme ensemble de points trois droites parallèles. Si on choisit deux points sur une de ces droites, on a l'embarras du choix concernant le troisième point : n'importe lequel des autres points de cette droite conviendra. Sinon, on choisit deux points : l'un est sur une des trois droites, l'autre sur une deuxième ; ensemble, ils déterminent une droite qui coupe la troisième en un point qui est forcément aligné avec eux.
L'ensemble constitué de ces trois droites parallèles est donc une solution du problème, mais c'est une solution coûteuse (en points, ou en choux) et on aimerait bien trouver une solution avec le moins de points possible ...
Deuxième essai : à la manière d'un jardinier, disposons nos choux de façon régulière, sur un réseau à base d'alignements dans deux directions perpendiculaires, comme sur le dessin ci-contre.
Chaque chou sera placé en un point d'intersection de deux de ces droites. Prenons tous les points d'intersection de ces droites deux à deux : on obtient bien une solution, mais toujours trop coûteuse (pas autant que la précédente, cependant).
Alors ... est-ce qu'on peut trouver une solution avec ... pas trop de points, disons des points en nombre fini ? Supposons que oui : on aurait un ensemble fini de points du plan, pas tous alignés, mais tels que si on en choisit deux, il y en a un troisième, qui est aligné avec eux.
Traçons toutes les droites déterminées par deux de ces points. Il y en a beaucoup, d'accord, mais toujours un nombre fini. Pour chaque point, on note la distance qui le sépare de toutes les droites sur lesquelles il ne se trouve pas. Cela fait encore beaucoup de nombres, tous strictement positifs, et il n'y en a qu'un nombre fini, même si ce nombre est grand.
Dans toutes ces distances, il y en a donc une qui est la plus petite : soit M et (D) un point et une droite correspondant à cette plus petite distance. Soit H le pied de la hauteur issue de M vers (D) : la distance de M à (D) est MH. (D) est une droite qui passe par deux points de l'ensemble initial, donc en fait elle passe par trois de ces points (au moins) qu'on va appeler A, B, C de sorte que les points se suivent sur la droite (D) dans l'ordre A, H, B, C (par exemple). M et C sont deux points de l'ensemble, et la distance de B à la droite (MC) est bien sûr plus petite que MH qui devait être la plus courte des distances d'un des points à l'une des droites. D'avoir supposé que l'ensemble initial est fini nous a conduit à l'existence d'une longueur MH plus courte que les autres puis à une distance plus courte que MH : cette contradiction nous oblige à rejeter la possibilité que l'ensemble soit fini.
Est sous-entendu depuis le début le fait qu'on se pose le problème dans le plan. A la surface de la terre, pourtant, c'est très simple, les alignements se faisant le long des grands cercles. Trois points formant un triangle, et les trois points qui leur sont diamétralement opposés donnent un exemple de façon de planter six choux. (On n'a d'ailleurs pas besoin de tous ces points.)
Conclusion : si le problème de Sylvester a bien une solution avec un nombre fini de choux sur la sphère, il n'en est pas de même dans le plan, où il nous faut une infinité de choux !
