Les Étincelles du Palais de la découverte
La médiation scientifique
Découvrez le futur Palais
Cette semaine, c’est l’unité Mathématiques au grand complet, Laure, Robin et Guillaume, qui a reçu vos dessins pour les commenter. Merci à toutes les dessinatrices et tous les dessinateurs qui ont pris un peu de leur temps pour nous proposer leurs créations.
« Hasard » vient d’un mot d’origine arabe qui signifie « dés ». « Aléatoire » vient d’un mot d’origine latine qui signifie également « dés » (vous vous souvenez peut-être du fameux « alea jacta est » prononcé par César avant de passer le Rubicon ? Il se traduit par « les dés sont jetés » !). Manifestement, le dé est lié très fortement à l'idée de hasard ! Et pour cause, il symbolise parfaitement l’imprévisibilité que l'on redoute ou recherche. Avant de lancer le dé, nous sommes dans l'expectative : quelle face apparaîtra ? Le contraste entre l’avant- et l’après-lancer, entre le moment où tout est encore possible et le résultat, précis et définitif, peut rendre fous les plus joueurs d'entre nous, comme l'illustre Laure.
Certaines personnes croient dur comme fer que nous pouvons influencer le résultat par la force de notre volonté, ou même en soufflant très fort sur le dé avant de le lancer. Peine perdue : il fait bien ce qu'il veut, le dé. Pourvu qu'il soit bien équilibré et lancé honnêtement, il aura exactement la même chance de tomber sur le « 6 » que sur une autre face, ni plus, ni moins. Mais au fait, que signifie un lancer honnête ?
Un lancer de dé est presque toujours honnête. Même si les joueurs sont malhonnêtes, ils ne sont pas assez adroits pour obtenir à coup sûr le résultat souhaité. Il est presque impossible de tricher avec un dé (non pipé), à l’exception, bien sûr, du « lancer-posé », quand le dé ne roule pas du tout ou presque. Bien que le dé soit un cube, une forme très simple, lorsqu’il est lancé, sa trajectoire est impossible à prédire. Deux lancers de dé, identiques à nos yeux, peuvent donner deux trajectoires très différentes. Une différence infime dans la vitesse de lancer du dé, sa hauteur, son orientation, ou simplement la présence d’un grain de poussière sur son chemin fera varier, potentiellement considérablement, la trajectoire du dé. Un peu comme un cône qui serait posé en position d’équilibre tête en bas : un infime vacillement le fera tomber complètement d’un côté ou bien de l’autre. Impossible donc, pour un joueur, de trouver la technique qui permette d’obtenir uniquement des « 6 ». Théoriquement, il pourrait simplement lancer le dé de la même manière que la dernière fois où il a obtenu un « 6 ». Mais encore faudrait-il qu’il soit capable de le faire avec une précision infinie, ce qui est impossible !
Qu’est-ce que l’on vous disait ? Encore un dé ! Ou plutôt : plusieurs dés imbriqués, qui laissent relativement perplexes ceux qui essayent de les explorer. Ce dessin ressemble au cauchemar d’un joueur à qui on aurait proposé de jouer aux « dés d’Efron » ci-dessous :
Choisissez l’un de ces dés. J’en choisis un autre. Nous les lançons et celui qui obtient le plus grand score gagne. Pour quel dé allez-vous opter ? Autrement dit, avec lequel avez-vous le plus de chances de gagner ? Vous choisissez le bleu ? Je prends donc le vert. Le tableau ci-dessous devrait vous permettre de constater que j’ai alors plus de chances de gagner. Attention ! Cela ne veut pas dire que je suis sûr de gagner à tous les coups, mais que plus nous jouons un grand nombre de fois, plus la proportion de lancers en ma faveur se rapprochera de 24/36 (le nombre de cases vertes du tableau sur le nombre total de cases). On dit que la probabilité de gagner avec le dé vert est de 2/3. Les mathématiques permettent de rendre cette expérience de lancers de dés en partie prévisible en dévoilant qu’un dé donne deux fois plus de chances de gagner qu’un autre. Ce qui permet de choisir « raisonnablement » son dé plutôt que de se fier au simple hasard.
Vous seriez donc tenté de choisir le vert. Cependant, il est facile de se rendre compte qu’en choisissant le rouge, j’aurai plus de chances de gagner ! Et que si vous prenez le rouge, je prendrai le jaune, etc. Vous avez compris : quel que soit votre choix de dé, je peux opter pour un autre qui a plus de chances d’être gagnant. Faire un peu de maths dans cette situation ne nous assure pas la victoire, mais nous permet de développer une stratégie qui augmente nos chances de gagner : toujours choisir son dé en second !
Les dés, le pile ou face, tout le monde connaît et y a déjà joué au moins une fois dans sa vie. Mais pourquoi les mathématiciens s'obstinent à étudier des problèmes de boules de couleur à tirer au hasard dans une urne, avec ou sans « remise » entre deux tirages ? Toute personne ayant étudié les mathématiques au moins jusqu'au bac en garde en effet un souvenir plus ou moins heureux...
Pourtant, ces problèmes permettent de réfléchir, à partir d’un cas extrêmement simplifié, à tout un tas de situations intéressantes. Lors d’un deuxième lancer de dé, la probabilité d'obtenir un « 6 » est la même que l’on ait déjà obtenu un « 6 » ou non au premier. Il s'agit de deux événements indépendants : le premier lancer n'a pas d'influence sur le deuxième puisque « un dé n'a pas de mémoire ». Dans une urne, ce serait le cas seulement si le deuxième tirage s’effectuait avec « remise » : la boule « 6 » serait replacée avec les boules 1, 2, 3, 4, 5 avant le tirage suivant, reproduisant ainsi la situation de départ. Les tirages de boules dans une urne, sans remise ou avec modification du contenu (par exemple, je mets trois boules rouges dans l’urne dès que j’en ai pioché une), modélisent donc des situations où une expérience est répétée, mais dans des conditions différentes à chaque fois : chaque expérience a une influence sur les suivantes et les probabilités sont donc « liées ». Exemples : probabilité qu’une fourmi suive un chemin plutôt qu’un autre après que d’autres fourmis sont déjà passées, laissant des phéromones sur leur passage ; ou probabilité de tirer un roi dans un paquet de cartes sachant que dix cartes ont déjà été tirées…
Cette boule contenant des boules peut également rappeler le loto, bien sûr, ce fameux « impôt sur les personnes qui ne connaissent pas les probabilités ». Cette formulation résume bien la distance qu'il y a entre l’éventuel plaisir de risquer de l'argent et la froide réponse donnée par le calcul : vous n'avez qu'une chance sur 19 millions de gagner et vous percevez moins de 19 millions de fois votre mise de départ quand vous gagnez... Ne jouez pas, vous perdrez de l'argent !
Revenons-en à la question : qu'est-ce que le hasard ? Il est très surprenant de constater que suivant la hauteur à laquelle on lance une pièce, on peut estimer que le résultat « pile » ou « face » est plus ou moins hasardeux. Par exemple, lancez-la à 1 cm de votre main : il est très clair que le résultat est prévisible (la pièce n’aura pas le temps de se retourner !). Lancez-la à 20 cm de hauteur en la faisant tourner très vite : il est « clair » que cette fois, elle tombera bien au hasard. À quelle hauteur se trouve la frontière entre hasard et non-hasard ? En réalité, il n'y a pas de bonne réponse à cette question. Savoir si le hasard existe ou non est une question philosophique ou théologique, que ne se posent pas les mathématiciens.
Ces derniers préfèrent utiliser ce hasard pour mettre au point des modèles qui, par l’établissement de lois mathématiques et physiques, tentent de décrire des phénomènes divers (le déplacement d’objets soumis à des forces, la météo, la propagation d’une maladie, etc.). Tout ce que l'on peut dire, c'est que la description d'un phénomène en se servant du hasard « colle » plus ou moins bien aux observations que l'on peut en faire ; reste à trouver la bonne façon de décrire ce phénomène. La méthode, ou heuristique, utilisée par le scientifique est alors la suivante : tenter de comprendre ce qui se passe, attribuer des probabilités crédibles, puis faire des aller-retour avec l'expérience pour affiner ce modèle.
En tant que telles, les questions « quelle est la probabilité d'attraper la maladie de Lyme ? » ou encore « quelle est la probabilité de se faire mordre par un chien ou une chauve-souris enragé(e) ? » correspondent à des situations très éloignées des objets extrêmement simples servant de base aux études mathématiques (lancer de pièces ou dés, tirage de boules dans une urne). Y répondre nécessite de réaliser une étude détaillée. Il faut commencer par un peu de bon sens, de simplification, puis une bonne étude de la variété des situations (une personne vivant en ville se promène moins souvent en forêt qu'un bûcheron)... L'art de la modélisation, permettant d'estimer ce genre de probabilités de façon crédible, est délicat ! Une chose cependant peut nous sauver : le hasard peut devenir très prévisible s'il se répète un grand nombre de fois.
Comme pour les dés évoqués précédemment, il est possible de mesurer nos chances d’obtenir « pile » en lançant honnêtement une pièce équilibrée. Elle possède deux faces, qui ont autant de chances d’être visibles l’une que l’autre : on peut donc dire qu’il y a une probabilité de ½ d’obtenir « pile » avec une pièce équilibrée. Mais qu’est-ce que cela signifie vraiment ? Que si vous lancez dix fois cette pièce, vous obtiendrez à tous les coups précisément cinq fois « pile » et cinq fois « face » ? Non, évidemment ! Lancez une pièce en l'air : vous ne pouvez pas dire sur quelle face elle tombera. Lancez mille pièces en l'air : vous pouvez prédire qu'environ 50 % d'entre elles tomberont sur « pile » et les autres sur « face ». C'est toute la force de prédictibilité de la célèbre loi des grands nombres. Application pratique de cette loi à un problème essentiel : avant de savoir pourquoi une tartine tombe plus souvent côté confiture, il faudrait déjà savoir s'il est vrai qu'une tartine tombe plus souvent de ce côté. Comment procéder ? Difficile ici de calculer une probabilité théorique en modélisant simplement la situation comme pour la pièce et le dé. Mais il est tout à fait possible, comme le chercheur britannique Robert Matthews (qui a reçu pour cela le prix IgNobel de physique en 1997), de faire (faire) l’expérience un très grand nombre de fois, indépendantes les unes des autres. Plus le nombre de tartines tombées sera grand, plus la fréquence observée de tartines tombées côté confiture tendra vers LA probabilité qu’une tartine donnée tombe de ce côté. La loi des grands nombres s’applique en effet dans les deux sens. Si l’on connaît la probabilité, on peut prévoir le résultat d’un grand nombre d’expériences. À l’inverse, si l’on a réalisé un grand nombre d’expériences, on peut en déduire une probabilité, notamment quand la situation échappe à une modélisation mathématique.Revenons-en à nos tartines, avec du beurre plutôt que de la confiture. Robert Matthews a demandé à une armada d'élèves, via leurs professeurs, de faire tomber un grand nombre de tartines chez eux, de compiler les résultats et de les lui transmettre. Le résultat était sans appel : sur 9 821 tartines, 62 % d'entre elles environ sont tombées côté beurre. Étant donné le nombre d’expériences réalisées, cette valeur est bien trop éloignée du 50 % attendu pour pouvoir accuser le manque de chance : ce résultat ne peut être le fruit du hasard. Il faut donc lui fournir une explication !Celle-là est connue depuis bien longtemps : la tartine tourne car l'un de ses côtés (celui sans beurre ni confiture) commence à tomber légèrement avant l'autre. Ce décalage étant petit, elle tourne lentement. Étant donné la hauteur moyenne d'une table, une tartine a donc bien plus souvent le temps de faire un demi-tour qu'un tour complet ou que moins d'un demi-tour. Merci la physique pour la réponse, mais merci les maths pour savoir qu'il fallait bien se poser la question !
Notre dessinateur nous pose deux questions mathématiques intéressantes :- Quelle est la probabilité que deux parcours établis par des lancers de dés successifs soient identiques ?- Quel est le nombre de lancers nécessaires pour terminer l’histoire ? Nous serions tentés de répondre à la dernière qu’il faut lancer le dé au moins deux fois pour espérer arriver sur la douzième case. Mais la question de notre dessinateur est plus subtile… Comme il le dit plus loin, l’auteur nous propose en fait d’établir une loi de probabilité, c’est-à-dire de chercher toutes les probabilités des événements « terminer en n lancers » !Il nous prévient : on peut y passer nos longues soirées d’hiver ! Essayons juste d’y voir plus clair. Il faut lancer au moins 2 fois le dé pour espérer aller au bout. Et la seule façon de « terminer en 2 lancers » est d’obtenir un « 6 » les deux fois. A l’inverse, au bout de 12 lancers, nous sommes sûrs d’atteindre la douzième case, car même si on n’avance que d’une case à chaque fois on parviendra à la case finale. Et il n’y a également qu’une seule façon de « terminer en 12 lancers ». Plus difficile : combien y a-t-il de façons différentes de « terminer en 3 lancers » ? Autant que de façons d’obtenir aux dés trois nombres entiers dont la somme est au moins 12. Vous pouvez essayer d’en faire la liste, elle n’est pas si longue : elle contient 45 sommes. Il est donc 45 fois plus probable de terminer le jeu en trois lancers qu’en deux lancers. De même, il est encore plus probable d’y arriver en 4 lancers et ainsi de suite jusqu’à 7 lancers. Pour ce dernier cas, il y a tellement de façons différentes de terminer le jeu qu’il est très difficile de les dénombrer sans faire d’erreur. Et il faudrait pourtant continuer ces dénombrements jusqu’à 12 lancers ! Mais, cerise sur le gâteau, ce travail nous permettrait de répondre également à la première question. En effet, une fois dénombrés tous les parcours possibles comportant 2, 3, 4, 5, etc. jusqu’à 12 lancers, il suffit de faire une addition pour obtenir le nombre total S de parcours possibles. Nous aurons alors une probabilité de 1/S de refaire le même parcours que celui que l’on vient de terminer. Nous ne rentrerons pas dans les détails des calculs, et noterons juste que si nous ne voulons pas faire tous ces dénombrements, nous pouvons simplement jouer un très grand nombre de fois, en notant à chaque fois combien de lancers de dés il nous a fallu pour terminer le parcours. Évidemment, un mathématicien du 21ème siècle préférera programmer des simulations sur un ordinateur plutôt que de réellement lancer des dés…
Comme notre dessinateur, beaucoup d’artistes ont utilisé le hasard dans leurs créations, pour instaurer un rapport interactif avec le public censé les recevoir. Ainsi, Wolfgang Amadeus Mozart (1756-1791) a lui aussi imaginé une expérience de composition musicale avec des dés. Il a, pour cela, composé 176 mesures (très courts morceaux musicaux de même durée), qu’il a réparties dans un tableau de 11 lignes et 16 colonnes (176=11x16). Un morceau entier se compose de 16 mesures, une par colonne. A chaque colonne, pour savoir sur quelle ligne choisir la mesure à jouer, il suffit de lancer deux dés et de calculer leur somme, qui peut varier entre « 2 » et « 12 », donc prendre 11 valeurs différentes. Au final, la composition d’un morceau se fait en lançant 16 fois de suite les deux dés, avec 11 possibilités à chaque lancer. Le nombre de compositions possibles est gigantesque : 759 499 667 166 482 (11x11x11x….x11 et cela 16 fois !). Si le résultat a toutes les chances d’être décousu, il est fortement probable que celui qui le compose soit le seul à jamais l’entendre !
