Les Étincelles du Palais de la découverte
La médiation scientifique
Découvrez le futur Palais
Lors de l’Exposition Universelle de 1937, le tout nouveau Palais de la découverte consacre une salle entière au nombre pi et à ses 707 décimales connues à l'époque : elles avaient été obtenues "à la main" par le calculateur William Shanks en 1873. Malheureusement, seules 527 étaient correctes : il a fallu corriger les 180 dernières décimales en 1950. Cette salle est vite devenue incontournable, et le nombre pi est maintenant intimement lié à l'image du Palais de la découverte dans l'esprit des amoureux des mathématiques.
Grâce à des audioguides, profitez d'une visite guidée de l'ancienne Salle pi !
Le nombre pi est étudié depuis très longtemps (lire ci-dessous), mais garde encore quelques mystères… Par exemple, si les mathématiciens pensent qu’il est un nombre-univers, ils sont bien incapables de le démontrer ! En effet, il contiendrait dans ses décimales n'importe quelle séquence de chiffres : il suffirait juste d'aller assez loin pour la trouver ! Sans preuve de ce résultat étonnant, ils ne peuvent que vérifier cette hypothèse sur les 100 000 milliards de décimales calculées en juin 2022...
Avant d'être mise en ligne, cette manipe interactive était présentée dans la Salle pi. Elle a été réalisée grâce au logiciel Matlab, à partir de la donnée des 200 millions premières décimales. Elle vous permet de chercher n'importe quelle séquence de chiffres, et vous précise combien de fois et à quels endroits elle a été trouvée.
Des vérifications informatiques poussées montrent que toutes les séquences à 7 chiffres sont présentes au moins une fois dans les 200 millions premières décimales de pi. Donc votre date d'anniversaire y figure (d'ailleurs, en moyenne, environ 200 fois). Mais pour trouver votre numéro de téléphone (10 chiffres) à coup sûr, il faudrait aller jusqu'à 250 milliards de décimales...
https://matlab.palais-decouverte.fr/webapps/home/session.html?app=PISearch
Cette application a été réalisée avec le soutien de MathWorks.
Si vous agrandissez un cercle, en multipliant son diamètre par n'importe quelle valeur, vous multiplierez d'autant son périmètre : le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre. Et le rapport de proportionnalité entre ces deux quantités est le nombre pi. Autrement dit, derrière la formule : "Périmètre = pi x Diamètre" se cache en réalité la définition même du nombre pi ! Il s'agit du rapport du périmètre de n'importe quel cercle sur son diamètre.
Plus généralement, ce nombre intervient aussi dans le calcul de l'aire d'un disque, du volume d'une sphère, d'un cylindre ou d'un cône... La longue histoire du nombre π commence donc bien avant qu'Euler ne rende populaire cette notation (due à William Jones en 1706), et même bien avant que π ne soit considéré comme un nombre. Elle a débuté dès que les mathématiciens ont cherché à évaluer des grandeurs mesurant des formes circulaires.
Un nombre qui a un nombre fini de décimales est appelé... décimal. Il est alors forcément rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers. En effet, il suffit de le multiplier par la bonne puissance de 10 (10 ou 100 ou 1 000 ou 10 000 ou ...) pour décaler suffisamment la virgule et obtenir un nombre entier. Ainsi 3,14 x 100 = 314 donc 3,14 = 314/100. Jean-Henri Lambert démontre en 1761 que π est un nombre irrationnel : il n'est donc pas décimal et a donc une infinité de décimales.
Autrement dit, peut-on les résumer, à partir d'un certain rang, par une séquence qui tourne en boucle ?
L'écriture décimale d'un nombre rationnel a/b s'obtient en effectuant la division de a par b. Puisqu'il n'y a que b restes possibles dans cette division (ils sont compris entre 0 et b-1), au bout de maximum b étapes, un reste réapparait. Si c'est un "0" l'opération s'arrête et sinon elle tourne en boucle indéfiniment. Donc un nombre rationnel est soit décimal, soit possède nécessairement une écriture décimale périodique. Ainsi 22/7 = 3,142857142857142857... a une période de longueur 6 : 142857.
A l'inverse, un nombre qui possède une écriture décimale périodique est nécessairement un nombre rationnel : voyons sur un exemple.
0,123123123123... a une écriture décimale périodique. Notons ce nombre x et multiplions-le par 1 000 : 1 000 x = 123,123123123123... = 123 + x. Donc x = 123/999 = 41/333 est bien un nombre rationnel !
En démontrant que π est irrationnel, Jean-Henri Lambert démontre donc également que ses décimales ne sont pas périodiques.
C'est le fameux problème de "la quadrature du cercle" : peut-on construire un segment de longueur π à la règle et au compas ? La reformulation du problème aboutit à la question "π est-il solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers" (ce qu'on appelle un nombre algébrique) ? La réponse est non : il fait partie de ce qu'on appelle "les nombres transcendants". C'est sur lui que les mathématiciens s'acharnèrent à démontrer la transcendance, mais ce n'est pas le premier nombre transcendant à avoir été trouvé : il s'agit du nombre e, la base des logarithmes népériens, confirmé comme nombre irrationnel, puis transcendant, avant π.
Mais attention : π et e ne sont pas des exceptions, ce sont même la règle générale ! En effet, Georg Cantor montre en 1874 un résultat qui peut surprendre : "presque tous les nombres, définis par leur écriture décimale, sont transcendants." Finalement,ce sont les nombres entiers, les nombres décimaux, les nombres rationnels, ceux que nous avons l'impression de bien connaître, qui sont les exceptions !
