Les Étincelles du Palais de la découverte
La médiation scientifique
Découvrez le futur Palais
Tracez un dessin constitué d'une seule ligne et qui revient à son point de départ sur cette page de Dynamic Mathematics. Par exemple une étoile. Aussitôt, un ensemble de cercles tournoyant apparaît, balayant votre dessin. Regardez attentivement. Chaque cercle tourne autour d’un cercle (on appelle cela un épicycle), lui-même tournant autour d’un cercle… jusqu’à un premier cercle, immobile. À l’extrémité du dernier cercle, tout petit, un crayon imaginaire reproduit parfaitement votre dessin.
Plus impressionnant encore, vous pouvez, à l’aide d’un curseur au bas de l’écran, réduire le nombre de cercles utilisés. Pour les figures 1a et 1b, il y en a 88. Les figures 1c et 1d montrent le dessin obtenu en ne gardant que les huit premiers cercles.
Incroyable mais vrai : avec des cercles qui tournent autour de cercles qui tournent autour de cercles..., il est possible de s'approcher autant que souhaité de n'importe quel dessin constitué d’une boucle fermée ! Les cercles sont les éléments simples, la base permettant de reproduire n’importe quelle courbe. La taille des cercles, leur vitesse de rotation et leur position de départ par rapport au cercle auxquels ils sont attachés sont les paramètres, dont il est possible de choisir les coefficients.
Le fait de pouvoir, la plupart du temps, réduire considérablement le nombre de cercles utilisés, tout en conservant schématiquement le dessin obtenu, montre immédiatement l’intérêt potentiel de l’analyse de Fourier en termes de compression, même si ce n’est jamais sous cette forme qu’elle est utilisée (voir plutôt la page Fourier et les photographies pour cet aspect).
Autre intérêt : une image « simplifiée » est bien souvent également plus « lisse ». Le fait d’enlever les détails peut gommer en réalité les défauts d’une image, dus ici à notre main qui tremble.
Est-il possible de faire d’autres « jolis » dessins (comme l’étoile) qui peuvent être reproduits assez fidèlement avec un nombre très petit de cercles ? Et à l’inverse, quels dessins sont les plus difficiles à approcher par des cercles qui tournent (exemple en figure 2) ? Pourquoi ?
Pour ceux et celles qui le cherchent, voici le lien entre les séries de Fourier « classiques », qui empilent des sinus, et les dessins (fig. 3) : imaginez un point fixé sur une roue qui tourne. Si la hauteur de ce point en fonction du temps est reportée point par point, une sinusoïde est obtenue. Ces cercles qui tournent les uns autour des autres sont donc bien, d’une certaine manière, une somme de sinusoïdes.
